지친 일상의 비상구- Chage the rule of the game so that other players don’t know how to play the game!

아마도 이것은 고등학교에서 풀었던 것 같은데 다시 처음에 아무런 지식없이 풀려고 하니 풀 수가 없었다는...답을 알고 나서는 이런 문제도 못푼다는 것이 창피하기도 하고 뭐 그런 문제였다.

문제는 다음과 같다. 형이 나에게 10만불을 빌려주면 월별 꼬박 꼬박 일정금액을 갚아서 10년후에는 모두 다 돈을 갚겠다고 하였다. 그렇다면 나는 도대체 형에게 얼마를 매월 받으면 될까?  연간 이자율(EAR 혹은 effective annual rate)은 8% 이다.
 
이것을 계산하기 위해서 매월 일정금액을 불입했을때 연간 이자율 8%가 되는 월별 복리이자율을 계산하여야 한다. 영어로 monthly compounding interest라고 한다. 아래 식은 월별 이자율이 다음과 같다고 하자.

그리고 년간 이자율을

이라고 하자. 그렇다면 다음의 식이 성립한다.
왜냐하면 원금에 월별 이자율이 붙어 계속 돈이 불어나기 때문이다. 그리고 이것은 전체 원금에 1에  년간 이자율과의 합과 같게 된다.

이 방정식을 풀면 rm 은 0.0064 가 된다.

그런다음 10만달러의 현가(Presnet Value)를 계산한다. 현가란 미래의  개념이 없다면 이것을 계산하는 것이 좀 힘들다.
아래 식은 현재의 가치 10만달러는 매월 얼마를 10년동안 얼마를 받으면 10만달러가 되는지에 대한 계산을 위한 식이다. 여기서 A는 Annuity라고 하는데  사실 여기서는 매월 얼마씩 받아야 하는지에 대한 금액이다. 즉 왜냐면 여기서 t를 120개월 수로 놓았기 때문이다. 만약 위의 문제에서 월별이 아니라 년간 얼마씩 받아아 하는지 물었다면 r=8%이고 A는 Annuity가 되었을 것이다.
이식은 우리가 잘 알고 있는 등비수열에서 나온 것이다.

즉 이것을 풀면 아래와 같은 식을 얻는다

따라서 나는 10만불을 지금 빌려주고 매월 형으로 부터 $1198.58 를 받으면 된다.

경영학 케이스스터디를 읽다가 표에 CAGR라는 것이 있었다. 도대체가 첨 들어보는 말인데 애덜은 캐거라고 자연스레 읽으면서 이것을 가지고 성장율을 계산하고 하는 것이다. 난 참 황당해서 이게 뭐냐고 물었는데 이것은 경영학에서 자주 사용하는 개념이라고 이야기 할 뿐 정확한 답변을 얻진 못했다.
그래서 난 이것을 찾아서 개념을 이해하려고 했는데 결국 이것은 통계학에서 기하평균을 의미하는 것이였다.
여기서  난 내가 통계학을 배웠지만 실제 어떻게 쓰이는지 모르고 살았구나 하는 느낌이 들었다.
그렇다면 기하평균이 무엇인지 알아보자.
먼저 예를 들어 설명하면 이해가 쉬울 것이다. 2와 8의 기하평균은 다음과 같이 구해진다. 

이것의 의미는 무엇인가? 결국 가로 2, 세로 8이 만들어낸 면적과 같은 정사각형의 한쪽 길이가 바로 기하평균이 된다. 다른 예로 4, 1, 1/32 의 기하평균을 구해보자. 이것은 다음과 같다.

즉 이것은 이 세가지 값이 만들어내는 부피와 같은 정사면체의 한쪽 면의 길이가 이들의 기하평균이 된다.
그렇다면 왜 이런 개념이 필요한 것일까?
가령 어떤 회사의 3년간 평균 성장율을 알고 싶다고 하자. 이 회사의 매출은 다음과 같다.
첫해 100억, 둘째해 200억, 세째해 250억 이라고 하자. 그렇다면 이 회사의 평균 성장율은 어떻게 구할 수 있을까? 이것은 간단히 {(200/100)*(300/200)}^0.5 = 3^0.5가 된다.

이것을 일반화 형태로 푼다면 현재 어떤 회사의 매출이 n년 동안 a0, a1, a2, a3,...,an 이라고 하자.
그렇다면 첫해 성장율은 a1/a0, 둘째해 성장율은 a2/a1,...,n년째 성장율은 an/an-1 로 나타낼 수 있다. 그리고 전체 평균성장율은 다음과 같이 표현될 수 있다.

이게 바로 기하 평균이다.

그럼 왜 이게 의미가 있는 것일까? 다음의 예를 보자

	기준해	1년차	2년차	3년차	4년차	5년차	수학평균	기하평균
매출	100	140	130	150	200	300
성장율		1.40	0.93	1.15	1.33	1.50	1.26	0.60

기하평균은 5년동안 연간 60% 성장했으므로 100*60%*5년 곱하면 정확히 300이 나오지만 수학평균은 연평균 성장율을 제대로 말해주지 못한다. 그래서 나온 것이 기하평균이다. 경영학에서는 이것을 CAGR라고 부른다.
이상 기하평균의 소개를 마친다.

 

 

아래와 같이 삼성전자와 엘지 전자가 반도체 생산에 대해서 현재에서 생산을 늘리지 않는다(Do Nothing), 조금 확장을 한다 (Small), 크게 확장한다 (Large) 이렇게 3가지 옵션을 가지고 있다고 하자 . 그리고 각각의 옵션에 대해서 아래와 같이 Pay-off 매트릭스를 얻었다고 하자.

	삼성전자
엘지전자	DN(Do Nothing)		Small		Large
DN(Do Nothing)	$36m,	$36m	$30m,	$40m	$18m,	$36m
Small	$40m,	$30m	$32m,	$32m	$16m,	$24m
Large	$36m,	$18m	$24m,	$16m	$0m,	$0m

이때 내쉬 균형점은 어떻게 찾을 수 있을까? 먼저 삼정전자가 DN전략을 취할때 엘지전자는 가장 이익이 커지는 Small전략을 취한다. 왜냐면 DN일때 $36m, Small일때 $40m, Large일때 $36 이기 때문이다. 이렇게 각각의 전략에 대해서 먼저 최고의 전략을 각각 구한다.
그럼 엘지와 삼성은 모두 (Small, Small)일때 서로에게 최적의 전략이 된다. 이것이 바로 내쉬균형점이다.

그렇다면 만약 엘지전자가 먼저 삼성전자를 공격하기 위해서 움직일때 이때 게임트리(game tree) 는 어떻게 될 것인가? 그리고 이때 equilibrium strategy는 무엇인가?

이때 엘지전자가 Large생산을 하면 삼성전자는 DN 전략을 취할것이다. 이때 pay-off (36,18)이 된다.

그렇다면 삼성전자가 먼저 움직이면 결과는 어떻게 될까? 이것은 위와같이 트리를 그릴필요가 없다. 왜냐면 Pay-off 매트릭스는 정확히 대칭이기 때문이다. 따라서  삼성전자는 Large를 엘지전자는 DN을 선택하게 될 것이다. 이것이 바로 내쉬 균형이 된다.
이렇게 해서 게임으론을 간단히 살펴보았다.
혹시 나중에 헛갈리더라도 이것을 참조하면 도움이 될 것이다.

얼마전에 우연한 기회로 페이스북을 방문하게 되었다.
기업가치 만큼 화려하거나 건물이 멋지거나 하지는 못했다.
나름 창의적이게 보이려고 노력한 것 같긴 했지만 크게 감동할 만한 것들은 발견하기 힘들었다고 할까나...제주에 다음이나 네이버에 비해서도 상당히 떨어지는 사무실이라고 생각된다.
들어가는 입구에서 검문을 좀 빡세게 할 뿐...아래 사진에서 보듯 건물안으로 들어가기 전에 벽에 방명록 같은 것을 쓸 수 있게 해두었다. 마커펜으로 맘대로 쓰면 되는. 대학교 같은 느낌.

어째거나 혹시 페이스북을 궁금해 하시는 분들이 있을 것 같아 올려봅니다.

아래 사진은 일층에 로비인데 별로 특별한 것은 없다. 단, 여기에 직원들이 누워서 일하거나 회의하는 모습들을 볼 수 있었다.

아래에 사진은 페이스북의 사무실로 들어가는 입구를 찍은 것인데 작품성이 그리 높진 않은 것 같은데 그림들이 죽~욱 걸려 있었다.


그리고 여기에 과자나 음료수를 마음대로 먹을 수 있도록 매점같은 것이 있는데 무엇을 가져가서 먹든 모두 공짜였다. 심지어 나도 그냥 이런 저런 과자들 많이 집워 왔다는...ㅋㅎ

이상 페이스북 견학(?)을 마친다.