경영학에서 CAGR(Compound Annual Growth Rate) 즉 년평균 성장율, 혹은 성장율의 기하평균

경영학 케이스스터디를 읽다가 표에 CAGR라는 것이 있었다. 도대체가 첨 들어보는 말인데 애덜은 캐거라고 자연스레 읽으면서 이것을 가지고 성장율을 계산하고 하는 것이다. 난 참 황당해서 이게 뭐냐고 물었는데 이것은 경영학에서 자주 사용하는 개념이라고 이야기 할 뿐 정확한 답변을 얻진 못했다.
그래서 난 이것을 찾아서 개념을 이해하려고 했는데 결국 이것은 통계학에서 기하평균을 의미하는 것이였다.
여기서  난 내가 통계학을 배웠지만 실제 어떻게 쓰이는지 모르고 살았구나 하는 느낌이 들었다.
그렇다면 기하평균이 무엇인지 알아보자.
먼저 예를 들어 설명하면 이해가 쉬울 것이다. 2와 8의 기하평균은 다음과 같이 구해진다. 

이것의 의미는 무엇인가? 결국 가로 2, 세로 8이 만들어낸 면적과 같은 정사각형의 한쪽 길이가 바로 기하평균이 된다. 다른 예로 4, 1, 1/32 의 기하평균을 구해보자. 이것은 다음과 같다.

즉 이것은 이 세가지 값이 만들어내는 부피와 같은 정사면체의 한쪽 면의 길이가 이들의 기하평균이 된다.
그렇다면 왜 이런 개념이 필요한 것일까?
가령 어떤 회사의 3년간 평균 성장율을 알고 싶다고 하자. 이 회사의 매출은 다음과 같다.
첫해 100억, 둘째해 200억, 세째해 250억 이라고 하자. 그렇다면 이 회사의 평균 성장율은 어떻게 구할 수 있을까? 이것은 간단히 {(200/100)*(300/200)}^0.5 = 3^0.5가 된다.

이것을 일반화 형태로 푼다면 현재 어떤 회사의 매출이 n년 동안 a0, a1, a2, a3,...,an 이라고 하자.
그렇다면 첫해 성장율은 a1/a0, 둘째해 성장율은 a2/a1,...,n년째 성장율은 an/an-1 로 나타낼 수 있다. 그리고 전체 평균성장율은 다음과 같이 표현될 수 있다.

이게 바로 기하 평균이다.

그럼 왜 이게 의미가 있는 것일까? 다음의 예를 보자

	기준해	1년차	2년차	3년차	4년차	5년차	수학평균	기하평균
매출	100	140	130	150	200	300
성장율		1.40	0.93	1.15	1.33	1.50	1.26	0.60

기하평균은 5년동안 연간 60% 성장했으므로 100*60%*5년 곱하면 정확히 300이 나오지만 수학평균은 연평균 성장율을 제대로 말해주지 못한다. 그래서 나온 것이 기하평균이다. 경영학에서는 이것을 CAGR라고 부른다.
이상 기하평균의 소개를 마친다.