지친 일상의 비상구- Chage the rule of the game so that other players don’t know how to play the game!

기초통계 정리 : 분산, 공분산, 상관계수, 적률생성함수 그리고 통계적으로 독립일때 계산하는 것을 정리하였다.
Variance, Covariance, Correlation, Moment generated function, 그리고 independence

통계학을 공부할때 가장 기본이 되는 것인데 이것들이 오래되면 헛갈리기도 하고 배울땐 쉽다고 생각했는데 요즘 슬라이드를 기본으로 이용하다 보니 초스피드 강의에 가끔 다시 통계학 책을 뒤적일때가 있다.
이럴때를 대비해서 정리를 해보았다.

통계학을 배우고 가물가물한 분들이나 아니면 지금 한참 배우고 있는 분들은 이것을 참고하면 쉽게 정리가 될 것이라 생각한다.
물론 이것은 통계학 전공자들과 경영학을 전공하는 분들에게도 도움이 될 것 이라 생각합니다.

<2010, 11 월 버버리 광고 캠페인 >

코트의 보통명사가 돼버린 ‘버버리’가 일반적으로 대중화된 것은 2차대전이 끝난 뒤였다. 전후 전세계 영화팬의 심금을 울렸던 영화 ‘카사블랑카’의 험프리 보가트와 1차대전을 배경으로 영국군 장교(로버트 테일러)와 한 무용수(비비안 리)의 사랑을 소재로 한 ‘애수’의 로버트 테일러는 버버리 코트의 유명세를 가져다준 주인공들이다.
특히 워털루 다리 위에서 담배를 피워 물고 과거를 회상하는 로버트 테일러의 감동적인 연기는 국내에서도 1960년대 ‘로이패션’ 버버리 붐을 일으켰다.

버버리의 역사는 1856년, 스무살 나이의 토머스 버버리가 영국 햄프셔 베싱스톡에 포목상을 열면서 시작됐다. 당시 스포츠웨어에 관심을 가지고 있던 토머스는 1879년 방풍·방수가 뛰어나지만 가볍고 통풍성이 좋은 ‘개버딘’(Gabardine)이라는 직물을 개발하면서 성공의 역사를 쓰기 시작했다. 개버딘은 미리 방수처리한 면사를 촘촘하게 직조한 뒤 또 한번 방수처리하는 방식을 이용했다.

개버딘을 상표등록한 뒤 토머스는 두 아들까지 사업에 참여시켜 회사 이름을 ‘Thomas Burberry & Sons’로 하고 본격적으로 사업에 뛰어들었다.
버버리는 기능성 의복으로의 명성을 이어 트위드나 가죽 등을 소재로 바람을 막아주는 롱코트를 주로 생산해 냈다.

당시 영국 국왕인 에드워드 7세(1841∼1910)는 토머스 버버리의 개버딘 코트를 입을 때마다 입버릇처럼 “내 버버리를 가져오게”라고 말한 것이 개버딘 코트가 왕실지정 명품의 프리미엄, 명성을 보장해 주었고, 오늘날 버버리 패션이라는 새로운 용어를 탄생시킨 계기가 되었다.

그뒤 1차 세계대전(1914∼18) 중에 영국의 육군성과 해군성이 버버리를 공식 트렌치(트렌치는 전쟁터의 ‘참호’를 말하는 것으로 영국의 또 다른 패션회사 아쿠아스톰이 만든 코트) 코트로 인정하면서 또 다른 신화를 만들어 냈다.
기능성 견장과 가죽 허리띠, 그리고 D자 링을 응용해 오늘날 트렌치 코트의 원형을 만들어낸 것이다. 버버리는 1차대전 당시 영국군 장교들에게 50만벌에 달하는 전투용 레인코트를 보급하면서 ‘트렌치 코트’의 대명사로 확고히 자리잡았다. 그것은 버버리의 명성을 유럽 각국에 알리는 계기가 됐다.

1920년대 들어 특수 개버딘 직물에 버버리 특유의 타탄체크 문양의 안감을 조합시킴으로써 오늘날의 도회적이고 세련된 버버리 룩을 완성시켰다.

1926년 토머스 버버리가 90세의 나이로 세상을 뜬 뒤, 1955년 그의 아들인 아서 마이클이 은퇴함으로써 버버리는 GUS (Great Universe Store)그룹이 소유하게 됐다.

버버리가 트렌치 코트로 거둔 성공은 버버리의 독특한 격자무늬와 함께 세계 패션사에서 유례를 발견하기 어렵다. 이국적이고도 귀족적인 느낌을 주는 격자무늬는 지난 세기를 풍미할 정도로 오랜 시간 인기를 누려왔다. 그러나 100년 가까이 한가지 스타일만 줄기차게 고집했던 버버리는 1990년대 들어 한때 브랜드의 시장퇴출 위기를 맞았다.

버버리의 이미지가 보수주의를 대변하는 중·노년층의 옷으로 고착되면서 ‘브랜드 노화’ 현상이 발생하게 된 것이다. 또한, 확장전략의 일환으로 해왔던 무분별한 브랜드 라이센싱 사업으로 인한 품질관리실패와 과다 수요창출로 인한 브랜드 가치하락을 초래했다. 명품은 수요가 너무 크면 더 이상 명품이 아니기 때문이다.

GUS그룹이 1997년 미국의 최고 리테일러 중 한사람인 로즈 마리 브라보(Rose Marie Bravo)를 버버리사업부문 CEO로 영입하면서 버버리는 최근까지 변신을 거듭해 왔다.

버버리의 브랜드 현대화작업을 위해 CEO 브라보는 몇년간의 세밀한  고객 분석을 통해서 의류에서는 폴로와 알마니 사이에 니치마켓이 존재하고 엑세서리에서는 코치와 구치 사이에 버버리를 위한 니치마켓이 존재한다는 것을 알아내게 된다.

그리고 브라보는. 버버리는 고풍스러운 체크무늬 디자인에 질기고 기능성 제품에서 혁신적이고  감각적인 젊은 패션 브랜드로서 자리매김하기위한 브랜드 리포지션닝을 하기 시작한다.

버버리 브랜드 포트폴리오의 확장전략으로 버버리 페밀리 브랜드를 만든다. 버버리 런던은 버버리의 핵심브랜드이다. 그렇지만 어떤 나라에서는 젊고 패션에 민감한 고객층을 사로잡기 위해서 좀 더 싼 가격의 버버리 브랜드제품을 제공한다. 또 다른 예로 토마스버버리(Thomas Burberry)는 스페인과 포르투갈에서만 살 수 있고 버버리 블루앤블랙 라벨은 젊은 여성과 남성을 타겟으로 일본에서만 구매할 수 있다.

그리고   질 샌더의 수석디자이너였던 로베르토 메니체티(Robert Menichetti)영입으로 제품 디자인의 혁신적인 변화 시도와 현대적인 감각에 맞춘 ‘프로섬(Prorsum)’ 라인의 확장 및 변형체크 무늬 개발하였다. 이 무늬는패션과거의 버버리 브랜드에 연속성을 줄 뿐 아니라 혁신과 젊음의 이미지를 만들기 시작한다.  사실 프로섬은 성공했다고 이야길  하지만 파이낸셜 퍼포먼스로 보면 적자이다. 그렇지만 버버리의 부활에 중요한 역할을 담당한다. 바로 브랜드 리포지션의 상징이다. 찰스 왕세자와 섹시한 반항적인 젊음의 패션이 절묘하게 맞아 떨어진 패션의 새로운 트랜드를 만들며 버버리 브랜드의 부활을 알렸기 때문이다.

또한 상품라인의 다양화도 브라보가 이룬 혁신전략의 하나이다. 버버리는 향수브랜드인 버버리 브릿(Burberry Brit)을 론치하면서 젊은 층의 여성들에게 쉽게 버버린 브랜드를 접할 수 있도록 하면서 할로효과를 만들어 낸다.

그리고 브랜드 이미지 개선을 위한 광고전략과 유통 전략을 들 수 있다. 세계 각국의 주요 명품거리에 매장을 오픈하고, 기존의 매장을 과감히 정리하고 라이센싱 계약이 끝난 업체들중 수준에 미달하는 회사는 계약을 종료하는 등 대대적 유통망 개편 실시하였다.

광고전략으로 보그, The face등에서 일한 패션 사진작가 마리오 테스티노(Mario Testino)를 기용하고 모델 스텔라 테넌트(Stella Tennant)의 광고 플라이트( ad flight)를 1998년 론치하였고 이어 1999년 슈퍼모델 케이트 모스(Kate Moss)가 모델로 활동면서 버버리의 이미지는 날로 새로워지기 시작하였다. 혹시 이때 광고 캠페인이 궁금하신 분을 위해서 사진을 첨부한다.

< 1998년 버버리 광고 켐페인 - 스텔라>

<2000년 버버리 광고 켐페인- 케이트 모스>

<2000년 버버리 광고 캠페인- 케이트 모스>

2001년부터 로베르토에 이어 구치와 도나 카렌(미국 최고의 패션 디자이너 도나 카렌의 인터내셔널 패션그룹)의 수석 디자이너였던 크리스토퍼 베일리(Christopher Bailey)를 기용하였고 이러한 변신에 힘입어 지난해 상반기 버버리의 매출액은 전년 동기에 비해 200%가 넘게 신장되는 놀라운 성과를 기록했다.

국내에 버버리가 본격적으로 들어온 것은 유로통상이 1986년부터 직수입하면서부터다. 전세계 버버리 매출의 10%가 한국에서 이루어질 정도로 버버리 상표에 대한 한국인들의 기호는 유별나다는 평가를 받고 있다. 그래서 해외여행이 처음 풀렸던 시절, 버버리는 해외 쇼핑관광의 표적이 되기도 했고, IMF 한파 속에서도 최고의 매출액을 기록하면서 ‘명성’을 이어왔다.
참고로 2009년 럭셔리 브랜드 가치 순위 조사결과가 있어서 첨부합니다. 가치는 달러로 산정을 한 것이고 출처는 http://www.rankingthebrands.com/The-Brand-Rankings.aspx?rankingID=2&nav=category. 단위는 밀리언달러입니다.

 Bertrand competition은 비지니스에서 price war를 의미한다.

버트란드 트랩이란 두회사가 똑같은 상품을 생산하고 이들의 생산한계비용(marginal cost)이 같으면서 각 회사는 자기들 상품가격을 선택할 수 있다 는 가정에서 출발하여 가격전쟁을 하는 경우를 말한다. 이 게임에서 두회사는 동시에 상품가격을 결정하고 두회사중 상품가격을 더 낮게 책정하는 회사가 전체 마켓을 장악하게 되는 게임이다. 만약 두 회사의 상품가격이 같다면 두 회사는 시장을 50대 50으로 양분할 것이다. 시장의 수요는 가격에에 의존하는 것을 가정한다. 
이런 상황에서는 서로 가격을 낮추면서 경쟁을 하다가 결국은 한계생산비용에 도달하게 된다. 만약 이때 이들이 이미 Sunk Cost가 있다면 상품을 팔면 팔수록 오히려 손해가 되는 게임이다. 따라서 이런 가격전쟁은 피할 수 있으면 피하는 것이 좋다. 이것을 바로 버트란드 드랩이라고 한다.

경제학의 게임이론을 공부하다가 나오는 재미있는 죄수의 딜레마(Prisoner's Dillema)라는 것이 있다. 이것은 흔히 가격전쟁에서 나올 수 있는 것으로 내용이 아주 재미있다.
아래와 같이 두 죄수 A, B가 있다. 이들은 서로 비밀을 알고 있는데 무조건 둘다 비밀을 이야기하면 5년씩 감형을 받아 비밀을 말하지 않을때 2년을 감형받는 것보다 좋은 조건이다. 그런데 어느 한쪽만 비밀을 경찰에게 말하면 말한 쪽은 1년밖에 감형을 받지 못하지만 말하지 않은 쪽은 10년을 감형받는다. 이 죄수들은 서로 독방에서 취조를 받고 있다고 하자. 당신이라면 어떻게 하겠는가? 
아래 다이어그램은 이것을 표현한 것이다.

이것이 바로 죄수의 딜레마이다.

다음의 다이어그램은 가격전쟁의 예를 잘 설명해준다. 어느한쪽이 가격을 낮추면 비록 이익에 상당한 타격이 있을지라도 다른 한쪽도 낮출 수 밖에 없는 상황을 보여준다. 아래 예는 델타항공과 US 에어라인의 가격전쟁의 예를 나타낸 것이다.
델타(Delta)항공과 US에어라인이 티켓가격을 높게 유지하고 있다면 둘단 50씩 이익을 낼 수 있지만 둘다 티켓가격을 낮추면 이익이 0가 된다. 그런데 문제는 티켓가격을 어느 한쪽만 낮추고 다른 한쪽이 그대로 높은 티켓가격을 유지하면 낮춘 쪽은 100을 벌 수 있어 높은 가격을 유지하고 있을때 보다 2배의 이익을 낼 수 있지만 높은 가격을 유지한 쪽은 손실 50이 발생한다. 따라서 결국은 다른 한쪽도 가격을 낮출 수 밖에 없고 그렇게 되면 이익은 두 회사 0가 되어버린다. 

실데이타는 아니지만 이해하는데 도움이 될 것이다.
게임이론은 쉬우면서 재미있고 유용한 이론이다. 존내쉬란 뷰티플 마인드의 주인공이 만든 이론이다. 실제 그 친구 강연을 들은 사람이 말하길 그는 게임이론으로 노벨경제학상을 받았지만 게임이론은 수학의 단편적지식에 불과하다고 말한다.
그 자신에게는 그렇게 큰 성과는 아니라고 생각하는 것 같다고 한다.

 라플라스 succession rule- 베이지안 통계 (Bayesian Statistics)

천재 수학자 라플라스(Laplace)는

What’s the probability that the sun will rise tomorrow, given that it has been doing so every morning on earth for 4.5 billion years?.

즉, 지구에서 45억년 동안 아침에 해가 떴는데 그렇다면 내일도 해가 뜰 확률은 얼마인가?


에 대해서 답을 제시하려고 하였다. 이 문제는 현대 수학자 및 통계학자 사이에서도 뜨거운 이슈가 되기도 하였다.

여러분들은 쉽게 답을 찾을 수 있을까요? 라플라스의 내일 아침에도 해뜰 확률은동전을 n 번 던졌는데 전부 n번이 앞면이 나왔다. 그렇다면 n+1번째 동전이 앞면이 나올 확률이 얼마인지를 계산하는 문제와 같다고 생각을 하였다.

누구가는 이것을 계산할때 한마디로 간단하죠. 1입니다라고 답할겁니다. 왜냐면 지금까지 전부 n번이 나왔으니깐요.

그럼 지금까지 n번을 던져서 s번이 앞면이 나왔다면 그 확률을 단순히 s/n이라고 할 것이다. 따라서 우리는 이것을 일반화된 수식으로 쓴다면

이라고 할 수 있을 것이다.

그렇다면 여기서 s=n이거나 n=0이라면 이 수식은 성립할까? n=0 이라는 말은 동전을 한 번도 안던졌는데 지금 동전을 던지면 앞면이 나올 확률이 얼마이냐는 질문과 같다. 이렇게 물어보면 우리는 쉽게 동전에 공정하게 잘 만들어졌다면 당연히 1/2이라고 대답할 것이다. 그렇다면 위의 식은 틀린 답이 된다. 또한 s=n이라고 하면 동전을 n번을 던져서 앞면이 n번이 나왔는데 다음에 동전을 던졌을때 앞면이 나올 확률은 얼마인지를 계산하는 문제와 같다. 위의 식에 의하면 1이 된다. 따라서 이것도 설명이 충분히 되지 못한다. 

라플라스는 이 확률계산을 미리 두번을 던진 것처럼 하고 그중에 한번이 성공할 확률값으로 계산을 하였다. 위의 예에서는 (s+1)/(n+2) 이된다.  왜냐하면 지금까지 성공한 횟수에서 미리 2번을 던진 것처럼하고 그 중에서 1번이 성공할 확률을 계산하기 때문이다. 우리는 다음에 나올 동전이 앞면인지 뒷면인지 알 수 없기 때문에 결국 1/2의 확률값을 부여한 것이기 때문이다.

이것을 수식으로 다음과 같이 증명을 할 수 있다. 라플라스는 이것을 베이즈 정리를 사용해서 증명을 하였는데 이게 베이지안통계의 시조라 할 수 있을 것 같다.

어떤 사건이 연속해서 n번이 발생하고 그 다음에 그 사건이 발생할 확률은 얼마일까? 다시 처음 질문으로 돌아가면 지구가 45억년전에 생성되었고 매일 해가 떴을때 내일도 해가 뜰 확률은 얼마일까?  라플라스는 해가 뜰 확률이 무엇인지 알 수 없으므로 이때  해뜰 확률 그 자체는 일량분포(uniform distribution)을 따른다고 가정하였다. 일량분포란 0에서 1까지 랜덤하게 확률이 발생할 수 있다는 것을 의미한다. 통계의 전문용어로 베이지안통계에서 이것을 사전확률분포(Prior distribution)하고 한다. 

베이지안들은 이렇게 어떤 모수에 대한 분포만을 가정함으로써  훌륭한 추정로직을 개발하였다. 아래 식을 보자. 아래식은 동전을 n번 던졌을때 s번이 앞면이 나올 확률을 계산하는 식이다. 물론 정확히는 (n,s)가 앞에 있어야 하지만 결국 나중에 날아가게 될 것이라서 이렇게만 두자. 여기서 우리는 해뜰 확률 p값이 어떻게 변할지 모른다. 그래서 이것은 확률이 0에서 1까지 랜덤하게 변하는 일량분포를 가정하는 것이다.

이렇게 두면 베이즈 정리를 활용해서 사후확률분포(posterior distribution)를 구할 수 있다. p를 결합확률분포식에서 좀 헛갈릴 수 있으니 theta로 쓰자.

따라서 이 사후확률분포를 갖는 theta 의 기대값이  E(theta)=(x+1)/(n+2)가 된다. 위의 식은 결국 베타분포이므로 베타분포의 평균값은 (x+1)/(n+2)이기 때문에 여기서 x가 n이 되기 때문이다.

즉, n번의 실행에서 n번이 동전의 앞면이 나오고 다음에 던진 동전이 또 앞면일 확률은 (n+1)/(n+2) 이 된다.

서로 다른 두 모집단의 평균 비교 –검정력(1-beta), 신뢰구간이 주어졌을때 표본크기(샘플사이즈) 결정

시간이 지나면서 아주 헛갈리는 통계학의 주제중의 하나가 서로 다른 모집단에서 표본추출을 해서 평균값을 비교하는 경우이다.

예를 들면 두집단의 평균값  차이의95%의 신뢰구간의 상한값과 하한값의 차이(width )값이  2 이하로 떨어지게 하고 싶을때 얼마나 많은 샘플(표본)을  뽑으면  될까?  또는 이 가설검정의 검정력을 50%로 두고 두집단의 평균값 차이가 2가 되게 만들고 싶을때 얼마나 많은 표본을 수집해야 하는가?

이런 예는 현실에서도 상당히 많이 적용될 수 있는 것들인데 시간이 지나서 계산하려 하면 쉽게 이해가 되질 않는 것이 사실이다. 그래서 간단한 예와 함께 정리를 해보았다.

두 모집단에서 독립적으로 각각 n개의 샘플을 추출한다고 하자. 이들 각각의 분포의 표준편차는 10으로 알려져 있다. 이때 다음에 대해서 생각을 해보자.

(1)    두 모집의 평균차이 의 95% 신뢰구간의 상한값과 하한값의 차이(width)가 2를 갖게 만들고 싶을때 우리는 얼마나 많은 샘플을 추출해야 하는가?

<정답>

 

(2)  '  H0: 두집단의 평균차는 없다  vs H1: X모집단이 평균이 Y 모집단의 평균보다 크다' 에 대한 가설검정에서 두 평균차이는 2이고 type1 error가 10%라고 할때  검정력이 50%가 되기 위해서는 얼마나 많은 샘플을 뽑아야 하는가?

<정답>

Z Corporation:

Rapid Prototyping and 3D Printing

Marina Hatsopoulos, Former CEO

MIT의 2 학생에 의해서 설립된 Z-Corporation 은 3D 프린팅 비지니스의 틈새시장을 일찌감치 깨닫고 이것을 개발착수에 들어가 1년만에  꽤 괜찮은 알파버전을 만들게 되었다.

그런데 이미 그들이 하려고 하는 것을 기존의 큰 회사들이 이미 개발을 하였고 더 깔끔하고 더 사용하기 쉬웠다. 그것을 알게된 그 순간 그들은 좌절했지만 얼마지 않아 그들은 그들 제품이 다른 회사의 제품에 비하여 10배 이상이 빠르다는 것을 알게되었고 기회를 발견하게 되었다.

그들은 지금  막강한 HP, 3M, 3D Systems, Stratasys 혹은 DTM같은 경쟁사에  자신들의  기술을 팔아야 할지 아니면 원래 계획했던 대로  자신들이 목표로한 시장을 직접 공략할 것인지 고민하고 있다. 어느것도 쉽지 않은 결정이기 때문에 이들은 고민하는 상황이다. 자세한 현재의 상황은 파일을 열어서 확인하라.

Marina_Hatsopoulos_CASELET.pdf

이들은 후자의 결정을 하게 되었고 그때 CEO였던 마리나에게 그때 그 상황을 어떻게 돌파해 나갔는지 스피치를 들을 수 있는 기회를 갖게 되었다. 그녀로 부터 얻을 교훈들을 적어둔다.

결론부터 이야길 하자면 그녀는 직접 회사를  운영하기로 결정을 했고 아주 훌륭한 성과를 내게 되었다. 

$11 MM 을 엔젤과 기업투자로 유치에 성공함과 동시에 3D프린팅 시장에서 넘버2로서 지배적인 사업자가 되었으며 $30백만 달러의 매출을 올렸다.

그녀의  스피치로 부터 얼마나 그당시 아래 쓴 정보를 수백차례 검토하고 또 검토했을까 하는 느낌이 들 정도로 엄청난 고민을 했다는 것을 피부로 느낄 수 있었다.

Key Lesson

1.  경쟁기업에 대한 어떤 정보를 제일 먼저 알아야 하는가?

-          상품출시가격 (launching price)

-          상품생산의 비용구조(cost structure)

-          판매채널(distribution channel)

2.  곧 경쟁기업이 내가 있는 마켓에 들어올 것이라는 위험을 인지하라.

3.  판매채널은 매우 중요하다.

4.  상품의 가격은 매우 중요하다. 상품 가격을 너무 낮게 책정하지 마라.

왜냐하면 혁신적인 기술 상품의 개발과 마케팅은 당신이 예상하는 것보다 훨씬 비쌀 수 있다.

5.  경쟁을 좋은 것이다. 경쟁자로 부터의 마케팅을 레버리지 할 수 있고 경쟁자의 상품가격과 성능면에서 빠르고 쉽고 편리하다면 너의 상품은 더욱 빠르게 시장을 장악할 수 있을 것이다.

6.  나의 지적 재산권이 얼마나 강력한지 고려하라.

7.  어떤 옵션을 갖고 있는가? 어떤 옵션을 선택할 것인가? 를 결정할때 가장 먼저 고려할 것이 무엇인가? 그리고 각 옵션중 무엇이 가장 큰 리스크고 가장 큰 기회인가? 를 분석하라.

* 참고: 벤쳐 CEO가 해야할 가장 중요한 일은 현금을 관리하는 것이다. 캐쉬가 없다는 것은 바로 부도를 의미하기 때문이다.

다음의 두 경우중 여러분은 어떤 것을 더 선호합니까?

Case 1>

같은 직장을 다니는 친구가 있다.

이 친구와 나는 연차도 같고 능력도 같다.

그리고 이 친구의 연봉이 5천만으로 나와 같다.

Case 2 >

같은 직장에 다니는 친구가 있다.

연차도 능력도 case1 처럼 똑 같은 상황이다.

그런데 연봉이 이 친구는 7천만원이고 나는 5천 8백만원이다.

이 경우 여러분이라면 어떤 경우를 선호하는가?

이런 재미있는 질문에 많은 사람은 1번을 선택한다고 한다.

아이러니 하지 않는가?