지친 일상의 비상구- Chage the rule of the game so that other players don’t know how to play the game!

이것을 이해하기 위해서 먼저 그래프에 대한 이해가 충분히 되어야 한다. 내가 공부할때 가장 어려웠던 부분은 원서에 단어들이 생소하고 직관적으로 이해가 안되서 익숙해 지는데  시간이 꽤 걸렸던 것 같다. 그렇지만 개념을 정확히 이해하고 있다면 그리 어렵지 않게 공부할 수 있다. 최소한 기초지식에 대한 공부에 대해서 만큼은...

콜옵션(call option)이란 주식이 오를 것을 예상하고 정해진 행사가로 주식을 1년후에 살 수 있는 권리를 말한다.  예를 들자면 행사가가 20달러인데 이 주식의 주가가 1년후 25달러가 되었다고 하자. 그렇다면 나는 25달러의 주식을 20달러에 살 수 있으므로 5 달러의 이득이 발생하게 된다. 그러나 이 주식이 15달러가 되면 어떨까? 나는 15달러 주식을 20달러를 주고 사야 할까? 아니다 그냥 옵션을 포기하면 된다. 따라서 수수료가 없다면 옵션을 포기하면 된다.

풋옵션(put option)이란  내가 풋옵션과 반대의 개념으로 내가 지금 현재  A주식이  1년후에  떨어질 것이라고 생각하고 정해진 주식 행사가(striking price)에 1년후에 그 주식을 팔 수 있는  권리를 말한다. 예를 들면  1년만기 풋옵션의 행사가가 20달러인 풋옵션 샀는데 1년후 그 주식이 15달러가 되었다고 가정하자. 비록 1년후 주식이 15달러임에도 불구하고 나는 이미 20달러에 주식을 팔 권리를 샀기 때문에  15달러에 주식을 사서 20달러에 그 주식을 팔 수 가 있다. 따라서 5달러의 이득을 볼 수 있는 것이다. 그렇지만 1년후 그 주식이 25달러가 되었다면 어떻게 될까? 그냥 옵션 권리를 포기하면 된다.  (개념을 설명하기 위해서 최대한 단순화함)

여기서 영문 원서에서 옵션이나 채권을 사는 것을 long poisition 이라고 하고 파는 것을 short position이라고 한다. 그리고 풋옵션을 팔았다고 생각하면 결국 콜옵션을 사는 개념이 되고 콜옵션을 팔았다고 생각하면 풋옵션을 샀다는 개념이 된다.

그럼 페이오프 다이아그램을 그려보도록 하자.
아래 그래프에서 X축이 주식가격임을 숙지하자. 그리고 Y축은 주식가격이 변동됨에 따라서 내가 돈을 얼마나 버느냐를 나타낸 것이다.

§  주식(Stock): 내가 주식을 한주 가지고 있다고 하자. 그렇다면 주식가격이 올라갈때 난 얼마를 벌 수 있을까? 주식가격이 현재 0이라면 난 버는 돈이 없다. 그런데 2달러가 되면 난 주식으로 2달러를 번다. 주식가가 3달러면 난 역시 3달러를 번다. 즉, y=x 관계가 성립한다. 그럼 주식을 팔면 어떻게 될까? 그럼 당연히 주식이 올라갈 수록 손해가 난다. 즉, 관계는 y= - x가 된다.

§  콜옵션(Call Option):  콜옵션의 행사가가 K달러인 것을 보유하고 있다고 하자. 그럼 주식이 K달러가 될 때까지 손실도 이익도 없다.  왜냐면 지금 주가가 K 달러 이하라면 나는 콜옵션을 행사하지 않을 것이기 때문에 이때는 수익은 0 이 된다. 그리고 주식이  K 달러가 넘어가면 주식처럼 똑같이 돈을 벌게 된다. 즉 y=x-K where x>k and 0 esle where의 관계가 성립하게 된다. 만약 콜옵션을 팔게 되면 어떻게 될까? 그렇다면 y= - x+K where x<k and 0 elsewhere 이다.

§  풋옵션(Put Option): 콜옵션과 반대의 개념으로 생각하면 된다. 풋옵션을 샀다면  y= - x+K where x<k and 0 elsewhere이고 만약 팔았다면 콜옵션과 같이 된다.

따라서 우리는 구간별  페이오프를 X로 이루어진 식을 더하면 간단히 그래프를 그릴 수 있다. 아래는 이것을 이용한 그래프를 그렸다. 연습을 해보면 쉽게 그릴 수 있을 것이라 생각한다.

 

Draw a payoff diagram as a function of BLH stock for the follow portfolios consisting

of: (all put and call options on BLH Stock have a strike price of $K)

 

(a)  One share of a stock and a short position in one call option

(b)  Two shares of stock and a short position in one call option

(c)  One default-free Treasury Bond with a par value of $K and a short put option

(d)  One short position in the stock with one (long) position in a call option and one short position in a put option

(e)  One short position in the stock with 3 long put options

diagram of this strategy.

Example 1b (Strangle) Assume the trader in Example 1a buys a put with a strike price of $68 and a call with strike price of $72. Draw the payo diagram of this strategy.

Example 1c (Butter　y Spread) Suppose that a certain stock is currently worth $61. Atrader feels that a signicant price move in the next six months is unlikely. The trader buys one call with a $55 strike price, one call with a $65 strike price, and sells two calls with a $60 strike price. Draw the payo diagram of this strategy.

Example 1d (Arbitrary Portfolio of Stock and Options) A trader buys one share of stockand sells four call options on the stock with a $100 strike price. Draw the payo diagram of this strategy

아마도 이것은 고등학교에서 풀었던 것 같은데 다시 처음에 아무런 지식없이 풀려고 하니 풀 수가 없었다는...답을 알고 나서는 이런 문제도 못푼다는 것이 창피하기도 하고 뭐 그런 문제였다.

문제는 다음과 같다. 형이 나에게 10만불을 빌려주면 월별 꼬박 꼬박 일정금액을 갚아서 10년후에는 모두 다 돈을 갚겠다고 하였다. 그렇다면 나는 도대체 형에게 얼마를 매월 받으면 될까?  연간 이자율(EAR 혹은 effective annual rate)은 8% 이다.
 
이것을 계산하기 위해서 매월 일정금액을 불입했을때 연간 이자율 8%가 되는 월별 복리이자율을 계산하여야 한다. 영어로 monthly compounding interest라고 한다. 아래 식은 월별 이자율이 다음과 같다고 하자.

이라고 하자. 그렇다면 다음의 식이 성립한다.
왜냐하면 원금에 월별 이자율이 붙어 계속 돈이 불어나기 때문이다. 그리고 이것은 전체 원금에 1에  년간 이자율과의 합과 같게 된다.

이 방정식을 풀면 rm 은 0.0064 가 된다.

그런다음 10만달러의 현가(Presnet Value)를 계산한다. 현가란 미래의  개념이 없다면 이것을 계산하는 것이 좀 힘들다.
아래 식은 현재의 가치 10만달러는 매월 얼마를 10년동안 얼마를 받으면 10만달러가 되는지에 대한 계산을 위한 식이다. 여기서 A는 Annuity라고 하는데  사실 여기서는 매월 얼마씩 받아야 하는지에 대한 금액이다. 즉 왜냐면 여기서 t를 120개월 수로 놓았기 때문이다. 만약 위의 문제에서 월별이 아니라 년간 얼마씩 받아아 하는지 물었다면 r=8%이고 A는 Annuity가 되었을 것이다.
이식은 우리가 잘 알고 있는 등비수열에서 나온 것이다.

즉 이것을 풀면 아래와 같은 식을 얻는다

파이낸스에서 반드시 거쳐가게 되는 블랙-슐즈 공식이 있다.
이것은 블랙이 처음으로 이 공식을 만들고 슐즈에 의해서 refine되면서 노벨상까지 받게 된 아주 유명한 그리고 아주 유용한 공식이다. 이 공식은 아래와 같다.
이것은  현재의 주식가격, volatility, 이자율(risk free interest)만 알고 있으면 미래 콜옵션과 풋옵션의 가치를 산정할 수 있는 것이다. 아래 공식은 콜옵션 가치를 산정하는 공식인데 우리는 콜옵션과 풋옵션의 관계를 통해서 풋옵션의 가치도 산정을 할 수가 있는 것이다.

1. 콜옵션 가치 산정 블랙-슐즈(Black-Scholes) 공식 
 

undefined

K = Present Value of striking price in the future (미래 콜옵션 행사가의 현재가치)

Put option 가치 = Call option 가치 + K− S (현재 주식가격)

 3. 예제 
 
현재  A주식의 가격이  S = $100, volatilit σ = 40%, 무위험 이자율 (risk-free interest rate r = 0.06) 일때 다음의 콜옵션과 풋옵션의 가치를 산정해보자. ( A주식은 배당이 없다고 가정)

(a) 유럽형 콜옵션의 1년후 행사가(strike price)가 $105일때 콜옵션의 가치를 산정하라.