지친 일상의 비상구- Chage the rule of the game so that other players don’t know how to play the game!

어떤 도박에서 내가 1달러를 걸고 이기면 1달러를 받고 2달러를 걸고 이기면 2달러를 받는 것입니다.
물론 내가 걸었던 돈과 함께 말이죠. 이때 이길 확률은 공정해서 1/2 이라고 합시다.

한심한 갬블러의 전략은 아주 간단합니다.  처음에 1 달러를 베팅을 하고 그러고 나서 돈을 읽으면 그 다음판에 이 돈에 두배인 2 달러를 다시 베팅을 합니다. 그리고 또 잃으면 다시 다음판에 이것에 두배인 4달러를 베팅을 합니다. 이렇게 하면 언젠가는 돈을 다시 찾아 올 수 있다고 계속 돈을 걸고 도박을 할때 평균적으로 얼마까지 잃으면 마지막에 결국 돈을 회수하게 될까요?

과연 이 전략을 통해서 돈을 회수는 할 수 있을까요? 그리고 현명한 전략이라 할 수 있을까요?

간단히 정리하면 이 갬블러는 언젠가 이겨도 결국 1달러밖에 벌 수 없습니다. 아래는 이 사람이 4번째 베팅에서 이겨서 8 달러를 받았을때 결국 추가로 번돈은 1 달러입니다.

그리고 이 친구가 게임에서 이기기전 바로 베팅한 돈은 X=2^K 가 됩니다.

그럼 한번 이기기전까지  게임에서 K번 지고 K+1번째 이길 확률은 P(X=2^k) = 1/ 2^(K+1) 이 되겠죠.

따라서

 E(X) =sum of n*P(X=n), n=0, 1, 2,...

          = sum of 2^K* 1/2^(K+1), K=1, 2, 3, 4, ...

          = infinite number

즉, 이 전략은 한심하다고 볼 수 있으며 또한 통계적으로 평균이 존재 안할수도 있다는 것을 배울 수 있습니다. 재미있는 예라서 적어봤습니다.

참고> 다음지식에도 전에 올렸다가 블로그로 옮겨봤습니다.

파이낸스에서 반드시 거쳐가게 되는 블랙-슐즈 공식이 있다.
이것은 블랙이 처음으로 이 공식을 만들고 슐즈에 의해서 refine되면서 노벨상까지 받게 된 아주 유명한 그리고 아주 유용한 공식이다. 이 공식은 아래와 같다.
이것은  현재의 주식가격, volatility, 이자율(risk free interest)만 알고 있으면 미래 콜옵션과 풋옵션의 가치를 산정할 수 있는 것이다. 아래 공식은 콜옵션 가치를 산정하는 공식인데 우리는 콜옵션과 풋옵션의 관계를 통해서 풋옵션의 가치도 산정을 할 수가 있는 것이다.

1. 콜옵션 가치 산정 블랙-슐즈(Black-Scholes) 공식 
 

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K = Present Value of striking price in the future (미래 콜옵션 행사가의 현재가치)

Put option 가치 = Call option 가치 + K− S (현재 주식가격)

 3. 예제 
 
현재  A주식의 가격이  S = $100, volatilit σ = 40%, 무위험 이자율 (risk-free interest rate r = 0.06) 일때 다음의 콜옵션과 풋옵션의 가치를 산정해보자. ( A주식은 배당이 없다고 가정)

(a) 유럽형 콜옵션의 1년후 행사가(strike price)가 $105일때 콜옵션의 가치를 산정하라.