통계 피터스버그 역설 (Petersburg Paradox) - 한심한 갬블러(기대값이 무한대)

어떤 갬블러가 다음과 같은 게임 전략을 세웠다고 합시다. 우리 주변에서도 흔히 볼 수 있는 광경일 수도 있을 것 같긴 합니다.

어떤 도박에서 내가 1달러를 걸고 이기면 1달러를 받고 2달러를 걸고 이기면 2달러를 받는 것입니다.
물론 내가 걸었던 돈과 함께 말이죠. 이때 이길 확률은 공정해서 1/2 이라고 합시다.

한심한 갬블러의 전략은 아주 간단합니다.  처음에 1 달러를 베팅을 하고 그러고 나서 돈을 읽으면 그 다음판에 이 돈에 두배인 2 달러를 다시 베팅을 합니다. 그리고 또 잃으면 다시 다음판에 이것에 두배인 4달러를 베팅을 합니다. 이렇게 하면 언젠가는 돈을 다시 찾아 올 수 있다고 계속 돈을 걸고 도박을 할때 평균적으로 얼마까지 잃으면 마지막에 결국 돈을 회수하게 될까요?

과연 이 전략을 통해서 돈을 회수는 할 수 있을까요? 그리고 현명한 전략이라 할 수 있을까요?

간단히 정리하면 이 갬블러는 언젠가 이겨도 결국 1달러밖에 벌 수 없습니다. 아래는 이 사람이 4번째 베팅에서 이겨서 8 달러를 받았을때 결국 추가로 번돈은 1 달러입니다.

베팅횟수	1	2	3	4	$gain
베팅돈	1	2	4	8
잃은 돈	-1	-2	-4	8	1

그렇다면 이 전략을 통해서 얼마가 있으면  결국 이 한심한 갬블러가 1달러를 벌 수 있을까요? 이것을 통계적으로 어떻게 계산할 수 있을까요?

K번을 게임에서 지고 K+1번째 이 갬블러가 이긴다고 가정합시다.

그리고 이 친구가 게임에서 이기기전 바로 베팅한 돈은 X=2^K 가 됩니다.

그럼 한번 이기기전까지  게임에서 K번 지고 K+1번째 이길 확률은 P(X=2^k) = 1/ 2^(K+1) 이 되겠죠.

따라서

 E(X) =sum of n*P(X=n), n=0, 1, 2,...

          = sum of 2^K* 1/2^(K+1), K=1, 2, 3, 4, ...

          = infinite number

즉, 이 전략은 한심하다고 볼 수 있으며 또한 통계적으로 평균이 존재 안할수도 있다는 것을 배울 수 있습니다. 재미있는 예라서 적어봤습니다.

참고> 다음지식에도 전에 올렸다가 블로그로 옮겨봤습니다.