지친 일상의 비상구- Chage the rule of the game so that other players don’t know how to play the game!

서로 다른 두 모집단의 평균 비교 –검정력(1-beta), 신뢰구간이 주어졌을때 표본크기(샘플사이즈) 결정

시간이 지나면서 아주 헛갈리는 통계학의 주제중의 하나가 서로 다른 모집단에서 표본추출을 해서 평균값을 비교하는 경우이다.

예를 들면 두집단의 평균값  차이의95%의 신뢰구간의 상한값과 하한값의 차이(width )값이  2 이하로 떨어지게 하고 싶을때 얼마나 많은 샘플(표본)을  뽑으면  될까?  또는 이 가설검정의 검정력을 50%로 두고 두집단의 평균값 차이가 2가 되게 만들고 싶을때 얼마나 많은 표본을 수집해야 하는가?

이런 예는 현실에서도 상당히 많이 적용될 수 있는 것들인데 시간이 지나서 계산하려 하면 쉽게 이해가 되질 않는 것이 사실이다. 그래서 간단한 예와 함께 정리를 해보았다.

두 모집단에서 독립적으로 각각 n개의 샘플을 추출한다고 하자. 이들 각각의 분포의 표준편차는 10으로 알려져 있다. 이때 다음에 대해서 생각을 해보자.

(1)    두 모집의 평균차이 의 95% 신뢰구간의 상한값과 하한값의 차이(width)가 2를 갖게 만들고 싶을때 우리는 얼마나 많은 샘플을 추출해야 하는가?

<정답>

 

(2)  '  H0: 두집단의 평균차는 없다  vs H1: X모집단이 평균이 Y 모집단의 평균보다 크다' 에 대한 가설검정에서 두 평균차이는 2이고 type1 error가 10%라고 할때  검정력이 50%가 되기 위해서는 얼마나 많은 샘플을 뽑아야 하는가?

<정답>

따라서 샘플크기가 30보다 크면 중심극한정리에 의해서  위의 도표에서 Mu는  샘플 지지도(proportion) ps로,표준편차 sigma는 [p*(1-p)/(n-1)]^0.5 로 대체 될  수 있다. 따라서 이때 95%  신뢰구간은 다음과 같이 표현된다.

그럼 지금 부터는  표본오차에 대해서 설명을 한다. 표본오차란 실제 유시민의 지지도 p와 표본에서 계산된 유시민의 지지도 p*의 차이의 절대값이다.

즉, 표본오차(margin of error)=|ps - p|

따라서 위의 신뢰구간에서 Ps를 빼면 표본오차를 계산할 수 있는데 결국은

이 부분이 신뢰구간 95%(alpha값이 5%라고 가정)에서 표본오차가 된다. 

바로 이것이 표준오차이다. 여기서 샘플크기 n은 분산의 unibiased estimator를 만들기 위해서 n-1로 계산하는 경우도 종종 있으니 n-1이 나오더라도 너무 긴장할 필요는 없다.

다음은 그렇다면 우리가 표본을 추출하기 전에 샘플사이즈를 얼마로 계산하면 표본오차를 3%이내로 할 수 있을까 하는 의문이 들 것이다. 즉 샘플크기를 결정하는 문제이다. 왜냐면 샘플 크기는 곧 표본조사에서 비용을 의미하기 때문에 아주 중요하다.

우리가 샘플사이즈를 결정하는 문제는 아래 그래프에서 보듯이 p=0.5 일때 불확실성이 가장 높아져 실제 분산이 가장 커진다. 직관적으로 누가 당선된 확률이 1/2 이라고 이야기 할때 가장 불확실성이 높은 것이라는 것을 알 수 있다.

이므로 이것을 풀면  n=1111  약 111개의 샘플을 추출해야한다.
그렇다면 표본오차를 2% 내로 줄이려면 샘플을 얼마나 뽑아 하는가? 2%^2=1/n 이므로  n=2500개를 뽑아야 한다. 여기서 의문을 갖을 것이다.
왜 샘플오차는 3%에서 2%로 1/3 밖에 안줄었는데 샘플은 2배 이상을 뽑아야 하는가?
이것은 표본오차와 샘플수의 관계가 제곱근의 역수의 관계가 있기 때문이다.

그럼 여기서 설명을 마친다.